บทพิสูจน์โดยสังเขปของ "ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลบทที่ 1"(Gödel's first incompleteness theorem) ตามความเข้าใจของผมเอง

อ้างอิงจาก https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_sketch_for_G%C3%B6del's_first_incompleteness_theorem

1. ตั้งระบบเลขคณิตขึ้นมาสักระบบ ในระบบนั้นประกอบไปด้วยสัญลักษณ์ต่างๆ เช่นตัวเลข 1234 บวกลบคูณหาร ฯลฯ
2. สัญลักษณ์หรือข้อความทุกอย่างในระบบนี้สามารถเข้ารหัสเป็นตัวเลขได้ โดยถ้าให้ F(x) เป็นสูตรสักสูตร ที่มีตัวแปร x (เช่น "x + 2 = 2") อยู่ข้างในแล้ว G(F(x)) จะแทนเลขรหัสของสูตรนั้น (เช่นเข้ารหัสเป็น 40646554630578005780 อะไรก็ว่าไป)

3. เราสร้างสัญลักษณ์ q( y, G(F(x)) ) ขึ้นมาแทนข้อความว่า "เลข y นั้นไม่ได้แทนข้อความที่เป็นบทพิสูจน์ของสูตร F( G(F(x)) )" [โดยพึงระลึกไว้ว่า x ใน F(x) เป็นตัวเลข และ G(F(x)) ก็เป็นเลขรหัสแทนสูตร F(x) ]

4. กำหนดให้ P( G(F(x)) ) แทนข้อความ "สำหรับเลข y ทุกตัวแล้ว จะได้ว่า q( y, G(F(x)) )" หรือแปลเป็นภาษาคนอีกทีว่า "สำหรับเลข y ทุกตัวแล้ว ไม่มี y ไหนเลยที่แทนข้อความที่เป็นบทพิสูจน์ของ F( G(F(x)) )" (หรือแปลอีกทีว่า "ไม่มีบทพิสูจน์ใดเลยที่บอกว่าสูตร F( G(F(x)) ) เป็นจริง")

5. P(x) เป็นสูตรเช่นเดียวกับ F(x) ดังนั้นเราสามารถเปลี่ยน P( G(F(x)) ) เป็น P( G(P(x)) ) จากนั้นลองเอา P( G(P(x)) ) มาพิจารณาความหมายใหม่ จะได้ความหมายว่า "สำหรับเลข y ทุกตัวแล้ว ไม่มี y ไหนเลยที่แทนข้อความที่เป็นบทพิสูจน์ของ P( G(P(x)) )" แปลเป็นภาษาคนอีกทีคือ "ไม่มีบทพิสูจน์ของ P( G(P(x)) ) ในสารบบ" หมายความว่าเจ้าข้อความนี้บอกว่าตัวมันเองไม่สามารถพิสูจน์ได้!!

จากข้อ 5 ย่อมชัดเจนอยู่แล้วว่าข้อความที่บอกว่าตัวมันเองพิสูจน์ไม่ได้ จะไม่สามารถพิสูจน์ได้เลยว่ามันจริงหรือเท็จ เพราะถ้ามันมันเป็นจริง มันก็ต้องพิสูจน์ไม่ได้ แล้วถ้ามันพิสูจน์ไม่ได้ มันจะเป้นจริงได้ไง

บทพิสูจน์เบื้องต้นจบลงตั้งแต่ข้อ 5 แล้ว สำหรับตั้งแต่ข้อ 6 เป็นต้นไปเป็นการทำให้ชัดเจนในทางคณิตศาสตร์เฉยๆ

6. มาพิจารณานิเสธ (ความหมายตรงข้าม) ของ q( y, G(F(x)) ) กัน: นิเสธของ q( y, G(F(x)) ) แปลเป็นข้อความได้ว่า "เลข y นั้นแทนข้อความที่เป็นบทพิสูจน์ของสูตร F( G(F(x)) )" เราแทนนิเสธของมันว่า -q( y, G(P(x)) )

7. ถ้าเกิดเราตั้งธงไว้ว่าข้อความ P( G(P(x)) ) สามารถพิสูจน์ได้ (มีบทพิสูจน์) แสดงว่าต้องมีเลข y สักตัวที่ทำให้ -q( y, G(P(x)) ) ("เลข y แทนข้อความที่เป็นบทพิสูจน์ของสูตร P( G(P(x)) )") พิสูจน์ได้เช่นเดียวกัน

8. แต่เนื่องจากข้อความ P( G(P(x)) ) ของเราแทนข้อความว่า "ไม่มีเลข y ไหนเลยที่เป็นบทพิสูจน์ของ P( G(P(x)) )" ดังนั้นมันก็ต้องขัดกับข้อความที่ว่า "ต้องมีเลข y สักตัวที่เป็นเป็นบทพิสูจน์ของ P( G(P(x)) )" ที่เราเพิ่งสรุปไปในข้อ 7 ใช่ไหมล่ะคุณ

9. สรุปคือถ้าเราจะพิสูจน์ P( G(P(x)) ) เราต้องพิสูจน์ -q( y, G(P(x)) ) ให้ได้ด้วย แต่ตัว -q( y, G(P(x)) ) มันดันไปขัดกับ P( G(P(x)) ) ซะเอง สรุปคือ P( G(P(x)) ) ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าจริงเท็จประการใด นะจ๊ะ